2026.09.01
小時候玩的萬花尺（Spirograph）：一個小齒輪在大齒輪裡面滾，某個齒孔插著筆，滾完一圈，紙上就留下漂亮的曲線。這是一條叫「內旋輪線（hypotrochoid）」的曲線，其實就是兩個函數：
x(t) = (R − r) cos(t) + d·cos((R − r)t / r)y(t) = (R − r) sin(t) − d·sin((R − r)t / r)R 是大齒輪半徑，r 是小齒輪半徑，d 是筆尖離小齒輪中心的距離。當 R 和 r 都是整數時，曲線會在剛好轉了某個圈數之後閉合；用最大公因數 gcd(r, R−r) 就能算出要轉幾圈，以及會畫出幾片花瓣。
畫完一朵就淡出，換一組新的 R:r:d 再畫，所以每一朵都不一樣。後來越玩越把它改成一組組「星群」：一次可能同時有兩三組齒輪各自滾動、交織出更複雜的花樣；有時小齒輪跑到大齒輪外側（外滾式的玫瑰線）、有時曲線左右鏡射變成對稱的萬花筒，調色也輪流換冰藍、焰火、極光、霓虹。筆尖像彗星一樣拖著一條漸淡的尾跡、沿切線噴出亮塵，畫完那一瞬間還會迸一圈光環當作「花開」。
全螢幕版（點一下換花、拖曳移動整幅花；iPhone 也支援）
仿作自 Rainbow Spirograph (p5.ai) 和 Simulate Spirograph (p5.js examples)，數學可以看 Hypotrochoid – Wikipedia。